Brescia, 3-4 febbraio 2006

Allenamenti di Matematica

Geometria

1. Il trapezio rettangolo ABCD contiene una circonferenza di raggio 1 metro, tangente a tutti i suoi lati. Sapendo che il lato obliquo BC è lungo 7 metri, trovare l’area del trapezio. (A) 8m^{2} (B) 9m^{2} (C) 10m^{2} (D) 11m^{2} (E) Non si può ricavare dai dati del problema

2. Quanto è lunga la corda AB, sapendo che AB = 2CD e che i raggi dei due cerchi concentrici sono 5 metri e 4 metri? (A) 2\sqrt{2}m (B) 2\sqrt{3}m (C) 3\sqrt{3}m (D) 4\sqrt{3}m (E) Dipende dall’inclinazione della corda

3. Siano A, B, C tre punti su una circonferenza di centro O. Sia D un punto esterno alla circonferenza situato sulla retta AB dalla parte di B. Sapendo che { \atop CBD} = 72^{o}, quanto misura l’angolo { \atop AOC}?

(A) 135 (B) 144 (C) 153 (D) 162 (E) 171 4. Sia data nel piano una circonferenza di raggio 3. Consideriamo tutti i

punti P del piano tali che la circonferenza di centro P e raggio 2 interseca in almeno un punto la circonferenza data. Questi punti formano: (A) la circonferenza data (B) una circonferenza più grande di quella data (C) un cerchio (D) una corona circolare (E) l’unione di due circonferenze concentriche

5. Dato un foglio rettangolare di lati a e b con a > b, determinare l’area del triangolo che risulta dalla sovrapposizione dei due lembi che si ottengono piegando il foglio lungo una diagonale (il triangolo colorato in grigio nella figura).

6. Sia P un punto interno a un triangolo ABC. Le rette AP, BP e CP intersecano i lati di ABC in A′, B′ e C′ rispettivamente. Ponendo x = \frac{AP}{P A′}, y = \frac{BP}{P B′} e z = \frac{CP}{P C′}, dimostrare che xyz = x + y + z + 2.

7. Dato un triangolo ABC si tracci un segmento A_{1}B_{1} che abbia un vertice sul lato AC e l’altro su BC e sia parallelo ad AB. Sapendo che AA_{1} = 1/5AC, che BB_{1} = 1/5BC e che l’area del quadrilatero ABB_{1}A_{1} è 45 cm^{2}, trovare l’area del triangolo ABC. (A) 175 cm^{2} (B) 135 cm^{2} (C) 130 cm^{2} (D) 125 cm^{2} (E) 100 cm^{2}.

8. Dato un quadrato ABCD di lato l siano M ed N i punti medi di BC e CD. Si determini l’area della parte comune ai triangoli ABM e BNC. (A) 1/20 l^{2} (B) \sqrt{5}/42 l^{2} (C) \sqrt{3}/32 l^{2} (D) 1/16 l^{2} (E) 1/10 l^{2}.

9. Si consideri un poligono intrecciato di cinque lati disposti a formare una stella a cinque punte. La somma degli angoli interni alle cinque punte è:

(A) 90 (B) 180 (C) 360 (D) 150 (E) 210.

10. Nella figura il punto C è interno al raggio OB di una semicirconferenza di centro O e il segmento CD è perpendicolare al diametro AB. Una circonferenza di centro P è inscritta come mostrato e risulta tangente all’arco BD in F, al segmento CD in E e al diametro AB in G. Dimostrare che il triangolo ADG è isoscele.

11. Si considerino tre circonferenze di raggio 1 i cui centri siano in corrispondenza dei vertici di un triangolo equilatero il cui lato è lungo 1. Qual è l’area della superficie comune a tutti e tre i cerchi? (A) (π − \sqrt{3})/2 (B) π/6 (C) π/4 (D) \sqrt{3}π/3 (E) \sqrt{3}/4.

12. In un trapezio ABCD sia E il punto di incontro delle diagonali. Sapendo che l’area dei triangoli DEC, ABE è rispettivamente x, y, trovare l’area del trapezio. (A) x + y + 2\sqrt{xy} (B) 2(x + y) (C) 2\sqrt{x^{2} + y^{2}} (D) x + y + 2\sqrt{x + y} (E) i dati non permettono di determinare l’area.

13. Dato un triangolo ABC, presi due punti A′, B′ sui lati BC e AC, sia K l’intersezione di AA′ e BB′. Una e una sola delle seguenti condizioni equivale a richiedere che K stia sulla mediana uscente dal vertice C. Qual è? (A) A′B′ parallelo ad AB (B) AA′ e BB′ bisecano gli angoli in A e in B (C) A′K = B′K (D) A′ e B′ sono i punti medi di BC e AC (E) BA′ = AB′.

14. Una cinghia è tesa tra due pulegge circolari di raggi rispettivamente 1 e 6 e con i centri che distano d. Quanto è lunga la cinghia, se d = 5\sqrt{2}?

(A) 10 + 7π (B) 24\sqrt{2} (C) 10\sqrt{2} + 7π (D) 10 + 19π/2 (E) 14π.

15. Se P è un punto interno ad un triangolo acutangolo ABC tale che i tre triangoli AP B, AP C, BP C hanno la stessa area, allora il punto P coincide con: (A) il Baricentro (B) l’Ortocentro (C) l’Incentro (D) il Circocentro (E) nessuno dei precedenti.

16. Determinare tutti i triangoli rettangoli con i lati in progressione aritmetica.

17. Dato un triangolo acutangolo ABC siano U, V i piedi delle altezze uscenti dai vertici A e B. Dimostrare che l’asse di UV passa per il punto medio di AB.

18. Una statua in bronzo, piena e alta 60 cm, viene fusa e dal metallo ottenuto si ricavano delle copie in scala, ciascuna alta 10 cm. Quante copie si possono ottenere?

(A) 6 (B) 36 (C) 60 (D) 216 (E) 256.

19. Si consideri una piramide retta avente come base un esagono regolare di lato 1 e si conduca un piano passante per il centro della base e parallelo a una delle facce laterali della piramide. Tale piano interseca la piramide lungo un quadrilatero. Il rapporto fra l’area di tale quadrilatero e l’area di una delle facce laterali è: (A) 1/2 (B) 1 (C) 5/4 (D) \sqrt{3} (E) dipende dall’altezza della piramide.

20. È possibile costruire un parallelepipedo che misura 72 × 94 × 300 cm utilizzando mattonelle di 2 × 5 × 10 cm?

21. Un esagono equiangolo ha quattro lati consecutivi lunghi nell’ordine 5,3,6 e 7. Determinare le lunghezze degli altri due lati.

22. Una cassetta di legno, senza coperchio, è fabbricata con tavole spesse 2 cm. Se le dimensioni esterne della base (rettangolare) sono 38 cm e 44 cm e l’altezza esterna è 47 cm, di quanti centimetri cubi è il volume interno della cassetta? (A) 61200 cm^{3} (B) 63920 cm^{3} (C) 68040 cm^{3} (D) 75240 cm^{3} (E) 78584 cm^{3}.

23. Sia dato un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 21 e 28 cm e un semicerchio in esso inscritto avente il diametro sull’ipotenusa. Quanto misura l’area del semicerchio? (A) 50π cm^{2} (B) \frac{441}{8}π cm^{2} (C) 98π cm^{2} (D) 72π cm^{2} (E) \frac{121}{2}π cm^{2}.

24. Nel quadrato ABCD di lato 1 tracciamo la diagonale BD e il segmento CM, dove M è il punto medio di DA. Chiamiamo P il punto d’intersezione di BD e CM. Qual è l’area del triangolo DMP? (A) 1/8 (B) 1/10 (C) 1/12 (D) 1/16 (E) nessuna delle precedenti.

25. In un triangolo ABC si tracciano le bisettrici da B e da C che incontrano rispettivamente i lati AC e AB in D ed E. Detto I il punto di incontro delle bisettrici, si sa che il quadrilatero IDAE è inscrivibile in una circonferenza. Allora l’angolo in A vale (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 90 (E) non si può determinare in modo univoco.