Brescia, 26 novembre 2005

Allenamenti di matematica: problemi

1. Siano a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} quattro numeri interi distinti e sia P (x) un polinomio a coefficienti interi tale che

P (a_{1}) = P (a_{2}) = P (a_{3}) = P (a_{4}) = 1.  (1)

(i) Dimostrare che non esiste nessun numero intero n tale che P (n) = 12.

(ii) Esistono un polinomio P (x) che soddisfa la condizione 1 ed un

intero n tale che P (n) = 1998?

2. Per quali valori di λ l’equazione ||x| − 1| = λ ha esattamente tre soluzioni? (A) Per ogni λ > 0 (B) solo per λ = 0 (C) per ogni λ tale che 0 ≤ λ ≤ 1 (D) solo per λ = 1 (E) per nessun valore di λ.

3. Il polinomio ax^{2}+bx+c assume valori interi per ogni valore intero della variabile x. Quale delle seguenti affermazioni non può essere dedotta? (A) c è intero (B) a + b + c è intero (C) a, b, c sono interi (D) se a è intero, anche b è intero (E) 2a è intero.

4. Dire quante soluzioni reali ha l’equazione 2^{x^{2}−3x+\sqrt{5}} = 1.

(A) Nessuna (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) infinite.

5. Si determinino i valori del parametro k per cui l’equazione x^{3}−x+k = 0 ha tre radici intere.

6. In una elezione con 25 votanti tre candidati si spartiscono i voti (tutti validi) in modo che nessun candidato ottenga la maggioranza assoluta. Quanti sono gli esiti possibili della votazione?

7. a, b, c sono tre numeri reali positivi tali che a + b + c = 1. Quale delle seguenti condizioni è equivalente a imporre che a, b, c siano le misure dei lati di un triangolo non degenere?

(A) 0 < |b − a| < \frac{1}{2}, 0 < |c − b| < \frac{1}{2}, 0 < |c − a| < \frac{1}{2} (B) a < \frac{1}{2}, b < \frac{1}{2}, c < 12 (C) a + b < \frac{1}{2}, b + c < \frac{1}{2}, c + a < \frac{1}{2} (D) a ≥ \frac{1}{3}, b ≥ \frac{1}{3}, c ≥ \frac{1}{3} (E) nessuna delle precedenti.

8. Sia f una funzione definita nell’insieme degli interi positivi a valori interi positivi. Diciamo che:

• f è crescente se n < m implica f(n) < f(m)

• f è moltiplicativa se MCD(m, n) = 1 implica f(mn) = f(m) · f(n)

• f è completamente moltiplicativa se f(mn) = f(m) · f(n) per ogni m, n.

(i) Si dimostri che se f è crescente allora f(n) ≥ n per ogni n. (ii) Si dimostri che se f è crescente, completamente moltiplicativa e

f(2) = 2 allora f(n) = n per ogni n. (iii) L’affermazione (ii) resta vera se si elimina l’avverbio “completa-

mente”?

9. Numeri grandi

Determinare la cifra delle unità del numero

2^{(2^{1})} + 2^{(2^{2})} + 2^{(2^{3})} + 2^{(2^{4})} + … + 2^{(2^{1999})}
(A) 0  (B) 2  (C) 4  (D) 6  (E) 8.

10. L’andamento delle iscrizioni

Da un’antica cronaca dell’università di Parma:

Due anni fa il numero degli iscritti era un quadrato perfetto. L’anno scorso, il numero degli iscritti è cresciuto di 100 unità, diventando un quadrato perfetto aumentato di 1. Quest’anno è cresciuto ancora di 100 unità, diventando nuovamente un quadrato perfetto.

Determinare il numero degli studenti iscritti nell’anno a cui risale la cronaca.

11. Numeri monotòni Chiamiamo numeri monotòni gli interi positivi tali che: -si scrivano usando almeno due cifre; -nessuna cifra sia zero; -le cifre compaiano in ordine strettamente crescente o strettamente decrescente. (Ad esempio, 127 e 9742 sono numeri monotòni, mentre 172, 1224 e 7320 non lo sono.)

(a) Calcolare la somma di tutti i numeri monotòni di cinque cifre.

(b) Determinare con quanti zeri termina il minimo comune multiplo

di tutti i numeri monotòni (senza vincoli sul numero di cifre).

12. Solo soletto Per quali interi a, b il numero 2^{2^{a}−b^{2}} + 1997 risulta intero e primo?

13. Secondo le regole Si determinino tutte le terne di interi (x, y, z) con x, y, z ≥ 2 che verificano le condizioni:

x divide yz − 1
y divide zx − 1
z divide xy − 1.

14. Anni quadrati Determinare se

(a) 2005^{2004} è somma di due quadrati perfetti positivi.

(b) 2004^{2005} è somma di due quadrati perfetti positivi.

15. Pari e dispari Quanti sono gli interi compresi tra 1 e 2005 inclusi che hanno un numero dispari di cifre pari?

16. Queste stampanti! Il grande capo ha stabilito che il budget a disposizione dell’ente sarà un numero di euro pari a 34!, cioè il prodotto di tutti gli interi tra 1 e 34. Un socio esegue il calcolo con l’auito di un computer ed ottiene il seguente stampato 34! = 295232799 ∗ ∗ 96041408476186096435 ∗ ∗ 000000 Purtroppo, come si può vedere, la stampante ha sostituito 4 delle cifre con degli asterischi. Determinare le cifre mancanti.