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Brescia, 25 novembre 2005

Allenamenti di matematica: algebra

  1. Siano $a,b,c$ tre numeri reali distinti e sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti reali. Sapendo che:
    1. $P(x)$ diviso per $(x-a)$ dà resto $a$;
    2. $P(x)$ diviso per $(x-b)$ dà resto $b$;
    3. $P(x)$ diviso per $(x-c)$ dà resto $c$,
    determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$.

  2. Quale delle seguenti disequazioni ha come soluzione l'insieme disegnato in figura?
    (a)
    $x^6+y^6\leq 64$
    (b)
    $\vert 2x\vert+\vert y\vert\leq 4$
    (c)
    $\vert x+y\vert+\vert x-y\vert\leq 4$
    (d)
    $\vert y\vert+\vert x+1\vert+\vert x-1\vert\leq 4$
    (e)
    $\vert x\vert+\vert\vert 2y\vert-\vert x\vert\vert\leq 4$
    Figura 1: Esagono regolare
    \includegraphics[scale=0.4]{figure.eps}

  3. Sulla lavagna è scritto inizialmente il numero $1$. Successivamente, dieci studenti a turno cancellano il numero che trovano sulla lavagna e lo sostituiscono con il suo doppio aumentato di $1$. Qual è il numero che resta sulla lavagna alla fine?
    (a)
    $31$
    (b)
    $2^{11}+1$
    (c)
    $2^{11}-1$
    (d)
    $3^{10}$
    (e)
    $2005$.

  4. Siano $a_1,a_2,\ldots a_n$ degli interi distinti. Dimostrare che il polinomio

    \begin{displaymath}P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)-1\end{displaymath}

    è irriducibile, cioè non è il prodotto di due polinomi a coefficienti interi di grado minore.

  5. Siano $a,b,c$ tre numeri reali tali che $a+b+c=0$ e $a^2+b^2+c^2=1$. Qual è il valore di $a^4+b^4+c^4$?
    (a)
    $\frac{1}{3}$
    (b)
    $\frac{1}{2}$
    (c)
    $2$
    (d)
    $3$
    (e)
    le due equazioni non sono sufficienti a determinare il valore di $a^4+b^4+c^4$.

  6. Massimo sa che camminando impiega $24$ minuti per andare da casa sua alla stazione, mentre correndo ne impiega $12$. Dovendo prendere un treno alle $12\colon30$, parte da casa per tempo alle $12$ (camminando). Durante il tragitto però si accorge di aver dimenticato il portafoglio. Immediatamente torna a casa di corsa, e poi corre in stazione, dove arriva puntuale alle $12\colon30$. A che ora si è reso conto di aver dimenticato il portafoglio?
    (a)
    $12\colon06$
    (b)
    $12\colon09$
    (c)
    $12\colon12$
    (d)
    $12\colon15$
    (e)
    i dati sono insufficienti.

  7. Determinare se il seguente enunciato è vero o falso:
    ``Per ogni successione $x_1,x_2,x_3,\ldots$ di numeri reali maggiori o uguali a zero esistono due successioni $a_1,a_2,a_3,\ldots$ e $b_1,b_2,b_3,\ldots$ di numeri reali maggiori o uguali a zero tali che

  8. Ad una festa l'età media è $31$ anni, l'età media degli uomini è $35$ anni e l'età media delle donne è $25$ anni. Qual è il rapporto fra il numero degli uomini e quello delle donne?
    (a)
    $\frac{5}{7}$
    (b)
    $\frac{7}{5}$
    (c)
    $\frac{4}{3}$
    (d)
    $\frac{3}{2}$
    (e)
    $2$.

  9. $D$ è il dominio del piano cartesiano costituito dai punti $(x,y)$ tali che

    \begin{displaymath}\vert x\vert+\vert y\vert+\vert x+y\vert+\vert x-y\vert\leq 3.\end{displaymath}

    La forma del dominio $D$ è
    \includegraphics[scale=0.5]{problema2.eps}

  10. Sia $x$ un numero reale. Quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alla disequazione:

    \begin{displaymath}\vert 2x-3\vert>5?\end{displaymath}

    (a)
    $\vert 6-4x\vert>10$
    (b)
    $\sqrt{4x^2-12x+9}>25$
    (c)
    $\vert 10x-15\vert>25$
    (d)
    $x<-1$ oppure $x>4$
    (e)
    ${(2x-3)}^2>5(2x-3)$.

  11. Per ottenere la tesi ``$x$ è razionale'' quale ipotesi assumereste?
    (a)
    $x+x^2$ è razionale
    (b)
    $x^7$ e $x^{14}$ sono razionali
    (c)
    $x+\pi$ e $x-\pi$ sono irrazionali
    (d)
    $x\sqrt{2}$ e $\frac{x}{sqrt(2)}$ sono irrazionali
    (e)
    $x^{12}$ e $x^7$ sono razionali.

  12. Dire quale dei seguenti sistemi di disequazioni equivale a

    \begin{displaymath}
\left\{\begin{array}{l} \vert x\vert<1 \ Vert y\vert<1 \\
\end{array}\right.
\end{displaymath}

    (a)
    $
\left\{\begin{array}{l} \vert x+y\vert<2 \ Vert x-y\vert<2\\
\end{array}\right.
$

    (b)
    $\vert x+y\vert+ \vert x-y\vert<2\ $

    (c)
    $
\left\{\begin{array}{l} \vert x\vert+\vert y\vert<2 \ Vert xy\vert<1\\
\end{array}\right.
$

    (d)
    $
\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2<2 \ Vert x^2-y^2\vert<1\\
\end{array}\right.
$

    (e)
    $\vert x\vert+\vert y\vert>x^2+y^2$

  13. In quanti modi si possono sistemare i numeri $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ su una scacchiera $3$x$3$ in modo tale che la somma dei numeri su ogni riga, su ogni colonna e sulle diagonali sia sempre uguale a $15$?

  14. Edoardo è andato in vacanza nella città di Altanbulat. Il suo aereo, all'andata, è partito da Milano alle $13\colon00$ ed è arrivato ad Altanbulat alle $9\colon00$ del giorno dopo (ora locale). Il volo di ritorno invece è partito da Altanbulat alle $9\colon00$ ed è atterrato alle $15\colon00$ dello stesso giorno a Milano (di nuovo, tutte le ore indicate sono secondo il fuso orario locale). Supponendo che i due viaggi abbiano avuto la stessa durata reale, quant'`e la differenza di fuso orario tra l'Italia e Altanbulat?
    (a)
    Meno di tre ore
    (b)
    più di tre ore, ma meno di sei
    (c)
    più di sei ore, ma meno di nove
    (d)
    più di nove ore
    (e)
    non è possibile determinarla.

  15. Quanti sono i polinomi $p(x)$ di secondo grado, a coefficienti interi e con due radici intere, tali che $p(8)=1$? (Nota: ricordiamo che i numeri interi possono essere positivi, negativi o nulli)
    (a)
    $1$
    (b)
    $2$
    (c)
    $3$
    (d)
    un numero finito maoggiore di $3$
    (e)
    infiniti.

  16. Al variare del parametro reale $a$, qual è il numero massimo di soluzioni per l'equazione $\vert\vert x-1\vert-4\vert+x=a$?
    (a)
    $1$
    (b)
    $2$
    (c)
    $3$
    (d)
    $4$
    (e)
    può averne infinite.

  17. Uno storico della città si è accorto che il deficit del bilancio segue alcune regole curiose. Infatti, se chiamiamo $f(n)$ il deficit dell'anno $n$ dalla fondazione della città, allora $f(1)=1$ e, per tutti i numeri naturali $n$, $f(2n)=2f(n)+1$. Quanto è stato il deficit nell'anno $1024$-esimo dalla fondazione della città?

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