Brescia, 25 novembre 2005

Allenamenti di matematica: algebra

1. Siano a, b, c tre numeri reali distinti e sia P (x) un polinomio a coefficienti reali. Sapendo che:

(a) P (x) diviso per (x − a) dà resto a;

(b) P (x) diviso per (x − b) dà resto b;

(c) P (x) diviso per (x − c) dà resto c, determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di P (x) per (x − a)(x − b)(x − c).

2. Quale delle seguenti disequazioni ha come soluzione l’insieme disegnato in figura? (A) x^{6} + y^{6} ≤ 64 (B) |2x| + |y| ≤ 4 (C) |x + y| + |x − y| ≤ 4 (D) |y| + |x + 1| + |x − 1| ≤ 4 (E) |x| + ||2y| − |x|| ≤ 4

Figura 1: Esagono regolare

3. Sulla lavagna è scritto inizialmente il numero 1. Successivamente, dieci studenti a turno cancellano il numero che trovano sulla lavagna e lo sostituiscono con il suo doppio aumentato di 1. Qual è il numero che resta sulla lavagna alla fine? (A) 31 (B) 2^{11} + 1 (C) 2^{11} − 1 (D) 3^{10} (E) 2005.

4. Siano a_{1}, a_{2}, … a_{n} degli interi distinti. Dimostrare che il polinomio

P (x) = (x − a_{1})(x − a_{2}) ⋯ (x − a_{n}) − 1

è irriducibile, cioè non è il prodotto di due polinomi a coefficienti interi di grado minore.

5. Siano a, b, c tre numeri reali tali che a + b + c = 0 e a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1. Qual è il valore di a^{4} + b^{4} + c^{4}?

(A) \frac{1}{3}
(B) \frac{1}{2}

(C) 2

(D) 3

(E) le due equazioni non sono sufficienti a determinare il valore di a^{4} + b^{4} + c^{4}.

6. Massimo sa che camminando impiega 24 minuti per andare da casa sua alla stazione, mentre correndo ne impiega 12. Dovendo prendere un treno alle 12: 30, parte da casa per tempo alle 12 (camminando). Durante il tragitto però si accorge di aver dimenticato il portafoglio. Immediatamente torna a casa di corsa, e poi corre in stazione, dove arriva puntuale alle 12: 30. A che ora si è reso conto di aver dimenticato il portafoglio?

(A) 12: 06

(B) 12: 09

(C) 12: 12

(D) 12: 15

(E) i dati sono insufficienti.

7. Determinare se il seguente enunciato è vero o falso:

“Per ogni successione x_{1}, x_{2}, x_{3}, … di numeri reali maggiori o uguali a zero esistono due successioni a_{1}, a_{2}, a_{3}, … e b_{1}, b_{2}, b_{3}, … di numeri reali maggiori o uguali a zero tali che

• x_{n} = a_{n} + b_{n} per ogni n;

• a_{1} + … + a_{n} ≤ n per infiniti valori di n;

• b_{1} + … + b_{n} ≤ n per infiniti valori di n, eventualmente diversi dai precedenti.”

8. Ad una festa l’età media è 31 anni, l’età media degli uomini è 35 anni e l’età media delle donne è 25 anni. Qual è il rapporto fra il numero degli uomini e quello delle donne?

(A) \frac{5}{7}
(B) \frac{7}{5}
(C) \frac{4}{3}
(D) \frac{3}{2}

(E) 2.

9. D è il dominio del piano cartesiano costituito dai punti (x, y) tali che

|x| + |y| + |x + y| + |x − y| ≤ 3.

La forma del dominio D è 10. Sia x un numero reale. Quale delle seguenti affermazioni non è equivalente

alla disequazione:

|2x − 3| > 5?

(A) |6 − 4x| > 10 (B) \sqrt{4x^{2} − 12x + 9} > 25 (C) |10x − 15| > 25 (D) x < −1 oppure x > 4 (E) (2x − 3)^{2} > 5(2x − 3).

11. Per ottenere la tesi “x è razionale” quale ipotesi assumereste? (A) x + x^{2} è razionale (B) x^{7} e x^{14} sono razionali (C) x + π e x − π sono irrazionali (D) x\sqrt{2} e \frac{x}{sqrt(2)} sono irrazionali (E) x^{12} e x^{7} sono razionali.

12. Dire quale dei seguenti sistemi di disequazioni equivale a

\{ \begin{matrix}|x| < 1 \\ |y| < 1 \end{matrix}

(A) \{ \begin{matrix}|x + y| < 2 \\ |x − y| < 2 \end{matrix}

(B) |x + y| + |x − y| < 2

(C) \{ \begin{matrix}|x| + |y| < 2 \\ |xy| < 1 \end{matrix}

(D) \{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} < 2 \\ |x^{2} − y^{2}| < 1 \end{matrix}

(E) |x| + |y| > x^{2} + y^{2}

13. In quanti modi si possono sistemare i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 su una scacchiera 3x3 in modo tale che la somma dei numeri su ogni riga, su ogni colonna e sulle diagonali sia sempre uguale a 15?

14. Edoardo è andato in vacanza nella città di Altanbulat. Il suo aereo, all’andata, è partito da Milano alle 13: 00 ed è arrivato ad Altanbulat alle 9: 00 del giorno dopo (ora locale). Il volo di ritorno invece è partito da Altanbulat alle 9: 00 ed è atterrato alle 15: 00 dello stesso giorno a Milano (di nuovo, tutte le ore indicate sono secondo il fuso orario locale). Supponendo che i due viaggi abbiano avuto la stessa durata reale, quant’‘e la differenza di fuso orario tra l’Italia e Altanbulat?

(A) Meno di tre ore

(B) più di tre ore, ma meno di sei

(C) più di sei ore, ma meno di nove

(D) più di nove ore

(E) non è possibile determinarla.

15. Quanti sono i polinomi p(x) di secondo grado, a coefficienti interi e con due radici intere, tali che p(8) = 1? (Nota: ricordiamo che i numeri interi possono essere positivi, negativi o nulli)

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) un numero finito maoggiore di 3

(E) infiniti.

16. Al variare del parametro reale a, qual è il numero massimo di soluzioni per l’equazione ||x − 1| − 4| + x = a?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) può averne infinite.

17. Uno storico della città si è accorto che il deficit del bilancio segue alcune regole curiose. Infatti, se chiamiamo f(n) il deficit dell’anno n dalla fondazione della città, allora f(1) = 1 e, per tutti i numeri naturali n, f(2n) = 2f(n) + 1. Quanto è stato il deficit nell’anno 1024-esimo dalla fondazione della città?