Disfida Matematica 2007

Soluzione del problema 14

14.

Luci poliedriche.    Osserviamo due cose: la prima è che ad ogni smussamento il numero dei vertici del lampadario diventa il triplo di quello precedente. La seconda è che il numero delle facce che si aggiungono alle precedenti ad ogni smussamento è pari al numero dei vertici allo smussamento precedente. Quindi la successione del numero di vertici durante gli smussamenti è

$$8,\quad 8\cdot 3, \quad 8\cdot 3^2, \quad 8\cdot 3^3, \quad 8\cdot 3^4, \quad 8\cdot 3^5, \quad 8\cdot 3^6$$

e il numero totale di facce, visto che all'inizio ce ne sono 6, diventa

$$6+8+ 8\cdot 3+ 8\cdot 3^2+ 8\cdot 3^3+ 8\cdot 3^4 +8\cdot 3^5 =6 + 8\cdot\sum_{k=0}^5 3^k\,.$$

Si può fare il conto a mano, oppure osservare che

$$\sum_{k=0}^5 3^k = \frac{3^6-1}{3-1} = \frac{728}{2} = 364\,,$$

e dunque $6+8\cdot 364 = 2918$ . La risposta è dunque .