\documentclass[12pt]{report}
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%\usepackage{a4wide}
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% ATTENZIONE, latex2html non tratta bene il 'setcounter{enumi}{10}'
% quindi e' necessario intervenire in index.html sostituendo
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con
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\usepackage{amsmath,graphics}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large Disfida Matematica 2006}
{\bf Soluzioni dei problemi 11 -- 14}
\end{center}
\vspace{.7cm}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{10}
\item {\bf Crescita matematica.}\quad
Si tratta di suddividere i $\phantom{'}\!365$ giorni di quest'anno
(che non \`e bisestile) nelle $\phantom{'}\!3$ tipologie di giorni.
I giorni multipli di $\phantom{'}\!3$ saranno dati dalla divisione
$365/3 = 121$ (scartando il resto); il totale di quelli
pari sono $\phantom{'}\!182$ da cui per\`o devo togliere i multipli
di $\phantom{'}\!6$ (che sono sia pari che multipli di $\phantom{'}\!3$) che sono
$\phantom{'}\!60$, e quindi abbiamo $182 - 60 = 122$ giorni del secondo tipo.
Rimangono quindi $365 - 121 - 122 = 122$ giorni del terzo tipo.
La crescita totale \`e dunque $3\cdot 121 + 2 \cdot 122 + 1 \cdot 122
= 729$.
La risposta \`e dunque \fbox{0729}\,.
{\bf Nota:} ragionando a gruppi di $\phantom{'}\!6$ giorni consecutivi si pu\`o
osservare che questi sono equamente suddivisi nelle tre tipologie
(il terzo e il sesto con crescita di $\phantom{'}\!3$ millimetri, il secondo
e il quarto con crescita di $\phantom{'}\!2$ millimetri, il primo e il quinto
con crescita di $\phantom{'}\!1$ millimetro, con una crescita media di $\phantom{'}\!2$
millimetri al giorno.
L'altezza dopo $\phantom{'}\!366$ giorni (che \`e multiplo di $\phantom{'}\!6$)
sar\`a quindi di $\phantom{'}\!732$ millimetri a cui devo togliere i $\phantom{'}\!3$ di crescita
del primo gennaio 2007.
\item {\bf Ubriaconi.}\quad
Per semplificare un po' i conti osserviamo che tutti i prezzi sono
multipli di $\phantom{'}\!8$, e che se dividiamo i prezzi unitari per $\phantom{'}\!8$ otteniamo
un un prezzo con sole cifre $\phantom{'}\!1$; dopo questa operazione la spesa
complessiva risulta di $\phantom{'}\!8750$, ora \`e chiaro che per minimizzare
il numero di cifre complessive conviene massimizzare le bottiglie
comprate di prezzo pi\`u elevato, e quindi ci saranno $\phantom{'}\!7$ bottiglie
da $\phantom{'}\!1111$ (spesa rimanente $\phantom{'}\!973$), $\phantom{'}\!8$ da $\phantom{'}\!111$ (spesa rimanente
$\phantom{'}\!85$), $\phantom{'}\!7$ da $\phantom{'}\!11$
(spesa rimanente $\phantom{'}\!8$) e $\phantom{'}\!8$ da $\phantom{'}\!1$.
Il numero di cifre $\phantom{'}\!1$ sulla ricevuta saranno $4\cdot 7 + 3 \cdot 8
+ 2 \cdot 7 + 8 = 74$.
La risposta \`e \fbox{0074}\,.
\item {\bf Il primo laghetto.}\quad
La situazione descritta nel testo corrisponde alla figura seguente:
\begin{center}
\includegraphics{laghetto}
\end{center}
La semiretta da $O$ passante per Andrea \`e la bisettrice dell'angolo
$\phantom{,}\!\widehat{AOC}$ e similmente riguardo a Luca, quindi l'angolo richiesto
\`e sempre la met\`a dell'angolo $\phantom{,}\!\widehat{AOB}$ indipendentemente dalla
posizione del punto di tangenza $C$.
Il quadrilatero $VAOB$ ha due angoli retti, e quindi $\widehat{AOB}
= 180 - 56 = 124$.
I valori massimo e minimo richiesti sono dunque tra loro coincidenti
e valgono $124/2=62$.
La risposta \`e \fbox{6262}\,.
\item {\bf Il gioco dell'oca.}\quad
Poich\'e $80 < 100$ conviene prima ragionare sui percorsi verticali
considerando positivi gli avanzamenti verso il basso.
Il primo tratto verticale corrisponde ad un avanzamento verso il
basso di $\phantom{,}\!79$
quadretti partendo dalla prima riga in alto;
il secondo tratto consiste in un avanzamento di $-77$ quadretti,
e la posizione \`e $79 - 77 = 2$ verso il basso relativamente
alla prima riga.
Continuando cos\`i la posizione finale sar\`a:
$79 - 77 + 75 - 73 ...$ fino ad un avanzamento finale di $\pm 1$.
Per capire il segno finale osserviamo che il segno \`e {\it meno}
quando il resto della divisione per $\phantom{,}\!4$ di $\phantom{,}\!77$, $\phantom{,}\!73$, ...
\`e $\phantom{,}\!1$, e quindi l'ultimo termine \`e $-1$.
Raggruppando a due a due si ha
$(79 - 77) + (75 - 73) + ... + (3 - 1)$ con un totale di $80/4 = 20$
addendi di valore $\phantom{,}\!2$, quindi la posizione sulla verticale \`e
di $\phantom{,}\!40$ quadretti dalla prima riga verso il basso, che corrisponde
alla riga $1 + 40 = 41$.
Siccome dopo l'ultimo avanzamento verticale di una casella verso
l'alto non \`e pi\`u possibile proseguire, gli spostamenti orizzontali
saranno $(79 - 79) + (77 - 75) + ... + (5 - 3)$ (con valori corrispondenti
alla prima serie aumentati di $\phantom{,}\!2$, con l'eccezione del primo valore).
In ogni caso abbiamo lo stesso numero di termini di prima ($\phantom{,}\!20$), di
cui per\`o il primo vale $0$ invece che $\phantom{,}\!2$.
La somma \`e dunque $\phantom{,}\!38$ e la colonna finale sar\`a $\phantom{,}\!39$.
La risposta \`e \fbox{4139}\,.
\end{enumerate}
\end{document}