Disfida Matematica 2006

Soluzione del problema 19

19

Il secondo laghetto.    Si tratta di un bel problema sulle terne pitagoriche. Procediamo in questo modo: cerchiamo di ottenere tutte le terne pitagoriche che hanno $35$ come cateto e tra queste cerchiamo quella con somma massima e con somma minima. Chiamando $c$ l'ipotenusa e $b$ l'altro cateto, dobbiamo trovare le soluzioni intere positive di $35^2+b^2=c^2$, ovvero $35^2=(c-b)(c+b)$. Poiché $(c-b)$ e $(c+b)$ devono essere interi positivi e $35$ si fattorizza come $5^2\cdot 7^2$, tenendo conto del fatto che $c-b< c+b$, le sole possibilità sono

$c-b$	$c+b$
$1$	$5^2\cdot 7^2$
$5$	$5\cdot 7^2$
$7$	$5^2\cdot 7$
$5^2$	$7^2$

da cui, calcolando $b=[(c+b)-(c-b)]/2$ e $c=[(c+b)+(c-b)]/2$, si ha

$b$	$c$
$612$	$613$
$120$	$125$
$84$	$91$
$12$	$37$.

Evidentemente la terna più grande è la prima e la più piccola è l'ultima, quindi

$$35+612+613+35+12+37=1344\,.$$

La risposta corretta è dunque .