Disfida Matematica 2006

Soluzione del problema 15

15.

L'equazione.     Se $\phantom{,}\! p$ è un primo che divide $\phantom{,}\! x$ ( $\phantom{,}\! x$ è una soluzione intera della equazione), si ha che $\phantom{,}\! p$ divide i primi due termini dell'equazione, e quindi deve dividere $\phantom{,}\! 3$ (il terzo termine). Gli unici valori possibili per $\phantom{,}\! x$ sono dunque $\phantom{,}\! -3,-1,1,3$ , dopo aver escluso anche le potenze di $\phantom{,}\! 3$ per la stessa ragione.

A questo punto si potrebbe gia procedere per tentativi provando a sostituire a $\phantom{,}\! x$ ciascuno di questi quattro valori; in alternativa si può restringere ulteriormente il campo procedendo come segue. Riducendo l'equazione modulo $\phantom{,}\! 10$ si ottiene

$$x^9 + 3 = 0 10$$ (1)

dove il termine di grado $\phantom{,}\! 1$ in $\phantom{,}\! x$ non è presente perché il testo specifica che il coefficiente sconosciuto è multiplo di $\phantom{,}\! 10$ e quindi congruo a $\phantom{,}\! 0$ modulo $\phantom{,}\! 10$ . Ora è necessario sfruttare una versione del piccolo teorema di Fermat che asserisce che $\phantom{,}\! x^k = 1$mod $\phantom{,}\! n$ se $\phantom{,}\! k = \varphi(n)$ e $\phantom{,}\! x$ è primo con $\phantom{,}\! n$ ; $\varphi(n)$ è la funzione di Eulero, che conta il numero di interi positivi minori di $\phantom{,}\! n$ che sono primi con $\phantom{,}\! n$ . Per numeri $\phantom{,}\! n = pq$ con $\phantom{,}\! p$ e $\phantom{,}\! q$ primi la funzione $\phantom{,}\! \varphi$ può essere esplicitata come $\phantom{,}\! \varphi(pq) = (p-1)(q-1)$ e quindi $\varphi(10) = 1 \cdot 4 = 4$ . Nel caso specifico $\phantom{,}\! n=10$ si può anche elencare agevolmente tutti i numeri minori di $\phantom{,}\! 10$ e primi con $\phantom{,}\! 10$ : $\{1,3,7,9\}$ , che sono proprio i valori di $\phantom{,}\! x$ (considerati modulo $\phantom{,}\! 10$ ) che sono stati isolati in precedenza.

Il piccolo teorema di Fermat quindi implica che (lavorando sempre modulo $\phantom{,}\! 10$ ): $x^9 = x (x^4)^2 = x$ , da cui si ricava $x = -3$   mod $\phantom{,}\! 10$ o equivalentemente $x = 10k - 3$ per un qualche $\phantom{,}\! k$ intero (positivo, negativo o nullo).

L'unico valore di $\phantom{,}\! k$ compatibile con le possibili scelte di $\phantom{,}\! x$ viste all'inizio è $\phantom{,}\! k=0$ , ovvero $\phantom{,}\! x = -3$ . Indicando con $\phantom{,}\! a$ il coefficiente incognito, la sostituzione $\phantom{,}\! x = -3$ porta a

$$-3(3^8) + 3\cdot a + 3 = 0$$ (2)

e semplificando per $\phantom{,}\! 3$ otteniamo

$$a = 3^8 - 1 = 6560$$

La risposta è dunque .